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传输线理论

该笔记写于研究生阶段，学习Microwave Engineering and RF Circuits 这门课。9/2024

参考该博客射频电路设计——传输线理论(Transmission Line Analysis) 以及Transmission Line Theory

传输线理论 主要用于分析在高频率条件下电压和电流随距离发生变化的电路。这种理论不仅在射频（RF）和微波技术中非常重要，在高速数字电路和长距离电力传输中同样适用。

为什么需要传输线理论？

在低频条件下，电路中的导线可以看作是理想导体，电压和电流沿导线是均匀分布的，符合传统电路理论（如欧姆定律和基尔霍夫定律）。然而，当频率升高，信号的波长变得可与导线长度相比较时，电压和电流会随着空间位置而变化。这时，传统的电路理论不再适用，必须使用传输线理论来描述这些效应。

传输线理论的应用

  1. 射频和微波工程：设计天线、滤波器、功率分配器和其他高频设备时，传输线理论用于处理信号反射、匹配和损耗。

  2. 高速数字电路：在高速信号传输中，导线长度可与信号的波长相比，因此必须考虑信号延迟、反射和串扰等问题。信号完整性分析是高速电路设计的关键内容。

  3. 电力传输：长距离输电线路表现出传输线特性。需要根据传输线理论计算电压降、功率损耗和反射，以确保高效传输。

传输线理论的基本概念

  1. 特征阻抗 (Z_0): 特征阻抗是传输线的一个重要参数，定义为传输线上单位长度电压与电流的比值。它取决于传输线的几何形状和介质材料，与频率无关。

  2. 传输延迟: 信号在传输线上以有限的速度传播，传播速度通常为光速的一个分量。传输延迟描述信号从传输线的一端到达另一端所需的时间。

  3. 反射和驻波: 当传输线两端的阻抗不匹配时，部分信号会反射回传输线的源端，导致反射系数的出现。反射波和入射波相互叠加，会在传输线上形成驻波。驻波的强弱由驻波比（SWR）衡量。

  4. 分布式参数模型: 传输线中的电阻、电感、电容和导纳被分布在整个线缆上，而不是集中在单个元件上。这些分布式参数描述了信号如何在传输线上以波的形式传播。

    • R: 单位长度的电阻，描述导线的电阻损耗。
    • L: 单位长度的电感，描述电流变化引起的磁场效应。
    • C: 单位长度的电容，描述导线与地或其它导体之间的电场效应。
    • G: 单位长度的导纳，描述由于绝缘体泄漏引起的电流损失。

传输线方程

基于分布参数，传输线理论的核心是 电压和电流的波动方程 (R = 0; G = 0 lossless wave equation)：

\[ \frac{\partial^2 V(x, t)}{\partial x^2} = LC \cdot \frac{\partial^2 V(x, t)}{\partial t^2} \] \[ \frac{\partial^2 I(x, t)}{\partial x^2} = LC \cdot \frac{\partial^2 I(x, t)}{\partial t^2} \]

这些方程描述了电压和电流随位置 (x) 和时间 (t) 的变化，表明信号在传输线上以波的形式传播。

电压反射系数 (Reflection coefficient)

针对有终端加载的无损耗传输线模型，通过观察(6)式（就是负载左边，看上面那张图）的区间，终端负载阻抗产生了反射。为衡量反射的程度，引入一个指标：电压反射系数Γ₀，代表在负载端\(z = 0\)处反射电压波与入射电压波的比值，利用终端条件\(Z(0) = Z_L\)，可以得到负载端反射系数具有可行性的计算方法：

\[ \Gamma_0 = \frac{V^-}{V^+} = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} \]

由此式很容易推得，在不同负载条件下，电压反射系数的大小，或者说有多少电压被反射了，例如：

  • 开路传输线(\(Z_L \to \infty\))：\(\Gamma_0 = 1\)，意味着反射电压波与入射电压波同相位；
  • 短路传输线(\(Z_L = 0\))：\(\Gamma_0 = -1\)，意味着反射电压波与入射电压波反相位；
  • 阻抗匹配(\(Z_0 = Z_L\))：\(\Gamma_0 = 0\)，没有反射，被负载全部吸收，相当于接了一条无限长且特性阻抗相同的传输线。

这里需要明确的一个关于 电路基础 的且很多人对上述模糊的概念是：开路当于负载无限大，短路相当于负载无限大，阻抗匹配就是相当于在这二者取了一个中间的合适值。

根据反射系数的定义，电压波和电流波用 负载处的反射系数 可以表示为：

\[ V(z) = V^+(e^{-\gamma z} + \Gamma_0 e^{\gamma z}), \]
\[ I(z) = \frac{V^+}{Z_0} (e^{-\gamma z} - \Gamma_0 e^{\gamma z}) \]

总结

传输线理论为理解高频电路和长距离信号传输提供了基础，尤其是在电压和电流不再均匀分布的情况下。它在无线通信、微波技术和高速数字电子系统中广泛应用，是处理高频信号和长导线问题的重要工具。